作图与证明之争
《几何原本》这一脉络追踪绘制作图要求的图形与证明该图形符合其预期定义之间的张力。
increasing
Bearing strength in each event
decreasing
Bearing strength in each eventdecreasing所要求的图形
所要求的图形
构造目标
第一题要求在给定的有限直线上构造等边三角形。
这项任务具有实践性和视觉性。
尚未确定的状态
仅凭图形还不能证明三条边相等。
工具性操作
工具性操作
圆的交点
以给定线段的两个端点为圆心，并以该线段为半径作圆。
两圆的交点给出第三个顶点。
约束
每一处可见的变动都由欧几里得公设授权。
几何相等状态的证明
几何相等状态的证明
半径关系
新作出的各边是圆的半径，而这些圆的半径等于原线段。
因此，根据圆的定义，可以证明三边相等。
过渡
只有经过这一推理，作出的图形才成为定理。
作垂线与证明
作垂线
两种情形
垂线可以过直线上的一点作出，也可以从直线外的一点作出。
由于可利用的位置不同，这两种作法也有所不同。
验证
通过全等三角形来确立直角状态，而不是依赖视觉外观。
构造的确定性
构造的确定性
使比例可见
第三比例项、第四比例项和中项比例项通过平行线与半圆构造出来。
图形体现了原本可能只能停留于符号形式的关系。
解决
构造与证明彼此补充：作图提供对象，推理为其作出证明。
在第一卷第一题中
第一次作圆期间
第一命题结束时
第一卷第十一和第十二命题时
《几何原本》第六卷的构造命题时期
