平行公设冲突
《几何原本》此流程追踪本书如何处理平行直线关系的特殊难题，以及规范这一关系所需的公理。
increasing
Bearing strength in each event
decreasing
Bearing strength in each eventdecreasing平行公设冲突
一条特殊公理
相交条件
这条公理涉及两条直线，它们在同一侧的内角之和小于两个直角。
它断言，这两条直线延长后将会相交。
全局后果
局部的角条件控制着延长直线未来的行为。
平行公设的冲突
等价形式
等价表述
该公设通过唯一的平行线，以及与平行线相交的直线之交点关系得到重新表述。
这些形式使其实际含义更容易被认识。
概念压力
诸多表述揭示出，几何学在多大程度上依赖这一单一原则。
同旁内角
同旁内角
判据
相等的同旁内角意味着两条直线平行。
证明采用反证法，因为两条直线相交将产生彼此不相容的角关系。
局部证据
平行直线关系是根据可见的角形态推断出来的。
补角内角
补角内角
第二项判据
一个外角等于对面的内角，或者内角之和等于两个直角状态，同样可以确立平行直线关系。
这一命题扩大了可用的判定方法。
实际控制
现在可以将不同的图示识别为同一支配关系的实例。
推论几何学
推论几何学
推导出的关系
一旦承认平行直线关系，内错角便相等，三角形的各角之和便等于两个直角。
先前的公理成为大量结论的基础。
解决
局部相交与整体平行秩序之间的冲突，通过演绎得到解决。
第一卷第十二条公设处
紧接公设之后的阐释中
第一卷第二十七命题处
在第一卷第二十八命题处
第二十九至第三十二命题时
