圆作为第二世界
《几何原本》这一脉络追随本书对圆的不断拓展的研究，从圆心与弦延伸到圆的切线、弧以及圆内接与外接图形。
increasing
Bearing strength in each event
decreasing
Bearing strength in each eventdecreasing求圆心
求圆心
作线段的垂直平分线
两条弦分别被平分，并由垂直直线相交。
证明它们的交点是这样一个唯一点，从该点引出的相关半径彼此相等。
几何位置
圆心并非通过观察得出，而是从弦与直角之间的不变关系中显现出来。
弦的内部
弦的内部
弦
连接圆上两点的直线完全位于圆的边界之内。
证明将弦与半径进行比较，并运用三角形不等式。
边界与区域
这一结果阐明，圆不仅包含其圆周，还包含完整的内部图形。
圆心与弦的关系
圆心与弦的关系
垂直关系
平分弦的直径垂直于该弦，反之亦然。
因此，距圆心相等转化为弦相等。
结构对称
圆所呈现的表面对称性被转化为直线与距离之间的精确关系。
圆作为第二世界
切线的发现
构造接触关系
可以从圆上或圆外的一点作圆的切线。
已证明，连结圆心与切点的半径垂直于切线。
唯一性
这一论证还表明，经过切点的垂线必定经过圆心，从而使相切成为一种严格确定的关系。
作为第二世界的圆
圆内接与外接的推论
角与弧
圆心角和圆周角通过它们所截的弧彼此关联。
同弧所对的角相等，而圆内接四边形的对角互为补角。
度量关系的完善
相交弦和切割线把圆中的位置关系转化为矩形关系与平方关系。
《几何原本》第三卷的第一命题处
在第三卷第二命题处
第三卷第三和第十四命题处
在第三卷第十七至第十九命题中
《几何原本》第三卷第二十至第三十六命题
