比例理论与几何相似
《几何原本》这一脉络追溯从第五卷关于量与比的比例理论到第六卷关于相似图形的构造与测量的转变。
increasing
Bearing strength in each event
decreasing
Bearing strength in each eventdecreasing大小比较
大小比较
倍数
论述首先为同类大小定义倍数与分数。
即使无法进行精确的数值测量，这也为比较建立了严密的语言。
比
比成为大小之间的关系，而不再只是用数字写成的分数。
欧多克索斯式定义
欧多克索斯式定义
等倍量
当对等倍量进行的每一次比较都保持同样的较大、相等或较小关系时，四个量成比例。
这一定义避免依赖共同的度量单位。
概念精确性
它使连续量能够纳入由严密逻辑比较支配的理论之中。
比例运算
比例运算
变换
逆比、交替、比例复合与分比，都被发展为作用于成比例量的合法运算。
每一种变换都保持比较关系，同时改变其形式。
普遍性
因此，本卷将孤立的几何关系转化为一种可重复使用的比例推理演算。
相似三角形
相似三角形
角与边的关系
证明等角三角形的对应边成比例。
反过来，在所述条件下，对应边成比例会迫使相应的角相等。
缩放
几何相似成为使一个图形以不同大小复制另一个图形的机制。
平方比与面积
平方比与面积
线性增长
相似三角形的对应边之间具有平方比关系。
因此，面积随相应长度的平方增长。
多边形的延伸
这一原理从三角形延伸到相似多边形，将形状同一性与数量尺度联系起来。
第五卷开篇时
《几何原本》第五卷第五个定义处
贯穿第五卷中部的命题
在第六卷第四至第八命题
在第六卷第十九和第二十命题处
