圆内接与外接

圆内接与外接描述了直线形图形和圆相互配合的互补方式。内接图形取决于其顶点在包含边界上的位置，而外接图形取决于穿过或接触另一图形边界的边或直线。在欧几里得的几何学中，这些并非仅仅是视觉上的排列，而是能够使后续作图和证明精确化的定义条件。

定义与几何边界

当一个直线形图形的所有角点都位于另一个包含它的图形上时，就称该直线形图形内接于后者。具体应用于圆时，定义更加明确——当直线形图形每个角的顶点都在圆周上时，就称该直线形图形内接于圆。因此，多边形被圆所包含，而它的角固定在圆形边界上。

相反的排列通过外部图形的边来描述。当外接图形的所有边都经过内部图形的角点时，就称一个图形外接于另一个图形。然而对于圆，决定性条件是相切——当直线形图形的每条边都是圆的切线时，就称该直线形图形外接于圆。此时，圆被直边包围，每条直边都与圆接触而不穿过圆。

这些定义也反转了关系的语法方向。当一个图形的每条边都是圆的切线时，就称圆内接于该直线形图形。当圆周经过该图形每个角的顶点时，就称圆外接于该直线形图形。因此，同一构形可以从任一图形的角度加以描述——多边形可以内接于圆，而圆可以外接于该多边形；圆可以内接于多边形，而多边形可以外接于该圆。

作图与证明

这一概念属于一种有意限制所用工具的几何学。直尺和圆规被确定为欧几里得平面几何中仅有的允许工具，而公设在一定程度上正是为了申明这一限制。因此，内接或外接图形的作图必须通过这些工具能够执行的操作来表达，而不能未经审查地诉诸测量或机械制图。

这一限制将可见的行为与数学主张区分开来。问题要求完成某项操作，例如画直线、作圆或构造图形；解答则说明如何用直尺和圆规制成所需对象。随后，证明再证实所指出的过程确实达到了要求的结果。在这一框架中，仅仅因为图示似乎显示顶点位于圆周上，或边与圆相切，并不能确立这些事实。作图必须与定义、公设、公理以及先前已经证明的命题联系起来。

一般的欧几里得体系从定义开始，并规定可以从任意一点向任意另一点画一条直线，也可以以任意中心、任意距离作一个圆。这些许可使学科所需的两种边界成为可能——构成多边形边的直线，以及提供圆周、圆心和半径的圆。叠合法被定义为设想一个量置于另一个量之上，使每一部分都完全重合；它在同一体系中提供了另一种精确比较的方式。

第四卷中的应用

这些定义在第四卷中转化为实际内容；该卷把多边形与圆之间的关系作为作图问题处理，而不是作为孤立的术语。其中一个问题是将圆内接于给定的正方形。题目本身就确定了操作所需的方向——正方形是包围性的直线形图形，圆必须置于其内部，使正方形的每条边都成为圆的切线。因此，这一问题把内接圆的定义转变为具体的作图要求，并要求证明圆与四条边都相切。

后一个问题要求作一个外接于给定等边等角五边形的圆。在这里，五边形是内部图形，而圆必须经过每个角的顶点。因此，作图的目标是寻找一个能够同时接纳五个顶点的圆形边界。五边形的等边等角性质之所以重要，是因为该图形提供了一组高度有序的顶点，而所要求的圆则把这种秩序转化为共同的圆周。

这两个问题以相反的方向展现了这一概念。将圆内接于正方形，是从直边向内指向相切的圆形边界；作一个外接于正五边形的圆，则是从多边形顶点向外指向经过这些顶点的圆周。二者共同说明，为什么定义要如此审慎地区分边、顶点、相切和圆周——每项条件都控制着一种不同的配合方式。

与欧几里得方法的关系

圆内接与外接揭示了欧几里得几何学如何把视觉直觉与形式推理协调起来。这部著作承认，当证明被不必要的重复掩盖时，教学可能变得枯燥而僵化；但它把几何学呈现为一种能够唤起好奇心并增强推理能力的学科。其彩色而直观的图形旨在直接诉诸眼睛，而定义则防止视觉上的即时明了变成含混。

由此形成的方法兼具图示性与公理性。读者可以看到圆内的多边形，或看到与多边形各边相接触的圆；然而文本准确规定了必须看到并证明的内容——每个相关顶点都位于圆周上，或者每条相关边都是切线。视觉构形为理解概念提供入口；作图和证明则确立其有效性。从这个意义上说，圆内接与外接体现了本书更大的教育目的，即旨在“教人如何思考，而非思考什么”，而不只是教给人应当思考的内容。