将线段按黄金比例分割
《几何原本》将线段按黄金比例分割，是将一条给定的有限直线按极端与中项之比关系进行分割的作图。其决定性意义在于把一系列可见操作同形式化的几何结论连接起来——所要求的比例并非仅被陈述出来，而是通过构造一个辅助正方形并作出一条相交直线，使所得交点确定所需的分割。
定义与目的
该操作从一条给定的有限直线开始。所陈述的目标，是将这条直线“按极端与中项之比”截分，这种经典比例关系后来被认定为黄金比例。因此，这一作图并不把该直线当作任意示例，而是把它视为必须由其得到所需分割的固定长度。
这一短语描述了一种关系——整条直线与其较长部分的比例，等于较长部分与剩余较短部分的比例。相关材料以欧几里得比例的语言呈现这一结果，而不是借助数值近似。因此，该操作的重点在于结构——它通过所构造长度之间的几何关系确立一种分割。
通过辅助图形进行作图
第一个可见步骤，是使用先前的正方形作图。原文指示读者构造与给定直线相关的正方形，并明确回指说明如何作出正方形的命题。这一辅助正方形为操作提供了新的空间环境——原来的有限直线成为更大构形的一条边，在这一构形中可以比较并相交出其他长度。
随后，作图要求取另一条直线，并作出它，使其与先前形成的图形相交。尽管留存的图示文字不完整，但操作序列的基本要点清楚——给出一条有限直线，在其上作出正方形，再作一条相交直线，以产生最终分割所需的点。所要求的点并不是通过测量选定的，而是由所作直线的相交生成的。
这一程序属于欧几里得平面几何学的受限作图实践，其中允许使用的工具是直尺与圆规。一条公设许可从任意一点向任意另一点作直线，另一条公设许可以任意一点为圆心、以任意距离为半径作圆。黄金比例作图也遵循同一构造规范，依靠能够实际完成的操作，而不是依赖预先假定的数值答案。
证明与验证
只有当作图操作之后紧接着给出论证时，这一作图才成为一个命题。在全书的一般论述中，问题要求完成某件事情，而解答说明如何用直尺与圆规作出所需对象。随后，证明必须说明所指示的过程确实达到了要求的结果。按极端与中项之比关系分割直线完全遵循这一模式——作图提供候选分割，而后续的比例推理对其加以验证。
留存的结论指出，相关直线被按极端与中项之比关系分割，并明确提及第六卷中相应的定义。结尾的“证毕”标志着从一系列图示指令转变为已确立的几何结果。因此，证明完成了从操作到关系的推进——图中产生的交点被证明具有命题中所称的比例。
图示、色彩与几何意义
更广泛的呈现把图示视为几何科学的材料，而不是装饰性插图。图示的目的，是通过称为几何证明的推理显示其各部分的相对数量。引入彩色符号，是因为与单独使用文字、字母和无色图示相比，它们能够使直线、角以及其他部分之间的关系更加精确，也更便于迅速理解。
在这一方法中，色彩充当图形各部分的名称。彩色直线或区域可以立即被辨认，而传统的字母名称则要求学习者逐一追踪字母，并在头脑中重新构想相关长度。相等部分还可以被赋予同一种颜色，从而使眼睛立即看到证明将要确立的相等关系。应用于黄金比例作图时，这一系统会使若干辅助长度和相交直线更容易区分，同时比例论证继续展开。
不过，本书坚持认为，色彩本身不具有数学力量。数学直线是没有宽度的长度，不可能真正具有颜色；颜色只是在实体图示中命名或指示该直线。证明中真正重要的，是彩色连接部位所表示的几何关系，而不是用来显示它的颜料。这一区分维护了感知辅助与数学实质之间的差别。
在欧几里得方法中的位置
这一作图展现了欧几里得体系的典型结构——定义辨认对象与关系，公设授权基本作图，公理提供不言自明的一般原则，而证明则从已经确立的内容中推导结论。叠合法被定义为设想将一个量置于另一个量之上，使相应部分彼此重合；命题则分为问题和定理，前者要求完成某件事情，后者断言某项原则的真实性。黄金比例分割位于这一体系的构造性一端，但其成功取决于验证作图的类似定理的推理。
它持久的力量来自手、眼与智力的结合。直线通过一系列受控作图得到操作，在图示中得到展示，最后由比例加以确认。因此，这一结果不仅是定位一个点的操作步骤，也是几何知识的简明范例——从给定长度出发，经由获准的操作和可见关系，抵达其有效性依靠证明而非记忆或测量的结论。
