切割线定理

切割线定理是一个关于从圆外一点引出的三条线之间关系的命题——一条圆的切线、一条穿过圆并与之相交的切割线，以及圆将切割线分成的两部分。其决定性结论是，整条切割线与外部线段所包含的矩形，等于切线的正方形。因此，该定理把相切与相交的构形转化为面积的精确相等；用现代代数语言来说，就是两段切割线长度的乘积等于切线长度的平方。

构形与术语

作图从圆外一点开始，从该点向圆作两条直线。其中一条在唯一一点接触圆，因此是圆的切线；另一条穿过圆并与之相交，成为切割线。切割线从外部点到圆的较远交点具有一条全长，并从该点到较近交点具有一条外部线段。定理恰恰讨论这些部分，而不是把切割线视为不可分割的整体。

相关定义区分了所涉及的几何材料。半径是从圆心作到圆周的一条线，而欧几里得《几何原本》文献的前六卷讨论平面图形，其中相关直线被理解为位于同一平面内。在该定理的作图中，从圆心作直线到接触点，使半径成为辨认切线与圆之间关系的关键工具。

作图与证明

证明引导人们注意从圆心作到切线与圆相交处的半径。该半径提供了推出相等关系的核心几何约束。切割线被安排为经过圆心，从而可以借助圆的直径和半径，将整条切割线与其外部部分联系起来。印刷文本中的证明随后援引早先的结果，包括第一卷命题47和第二卷命题6，将所作图形转化为所要求的相等关系。

该命题的核心表述是，整条切割线与外部线段所成的矩形，等于切线的正方形。措辞十分重要——定理并非仅仅断言两条线段以某种方式相关，而是明确指出一边的乘积等于另一边的平方。因此，线的构形转化为量之间的关系，而相切之线与相交之线之间表面的不对称，则通过共同的外部点得到了解决。

欧几里得方法

该定理属于这样一个体系——几何结论不会仅仅因为图形看起来令人信服就被接受。定义引入对象，公设授予基本作图，公理陈述被视为不言自明的一般命题。随后通过推理获得命题；其证明必须证明所指出的过程确实达到了要求的终点。切割线定理体现了从所作图形到形式确立的关系这一过程。

它所允许的操作受到有意限制。欧几里得平面几何只允许使用直尺和圆规，而公设的部分作用正是宣告这一限制——可以从任意一点向任意另一点作直线，也可以以任意圆心和任意距离作圆。因此，该定理的权威并不建立在测量或数值近似之上，而建立在能够用这些工具完成的作图，以及不依赖图形具体外观、始终有效的演绎之上。

叠合法也是该书解释性词汇的一部分。它指的是设想一个量置于另一个量之上，使相应部分完全重合的过程。虽然切割线定理并未被还原为用一个图形覆盖另一个图形的简单动作，但这一思想阐明了更广泛的欧几里得标准——相等必须通过精确重合、已经确立的作图或演绎结果来保证，而不能仅凭视觉相似。

推论与意义

该定理把圆的相切关系和切割线相交联系在一条定律之内。切线贡献一个平方，而切割线贡献由其全长和外部部分形成的矩形。这一联系使该定理成为一个简洁例子，说明欧几里得几何如何把同一圆的不同接触方式组织成单一的比例结构。

该结果也说明了为什么这一命题不只是一个孤立的图形。一旦确定切线和两段切割线属于所述构形，这个相等关系便为它们的量提供可靠联系。圆在图形中并不只是一个边界；它规定了外部相切与内部相交如何彼此对应。从这个意义上说，该定理延伸了全书更大的抱负——几何通过把可见的排列转化为能够推理并应用于一幅图之外的原则，教人如何思考。