正多边形

正多边形是这样定义的几何图形——它的所有边彼此相等，所有角也彼此相等。在欧几里得《几何原本》文献中，这一概念将精确的形式定义与作图方案结合起来——第四卷主要致力于涉及正多边形与圆的内接和外接的问题，因此，正性成为一种可以借助规定的工具作出、继而通过证明确立的性质。

定义与几何条件

正多边形被描述为各角和各边均相等的图形。因此，该定义包含两个同时成立的要求。各边相等规定图形的长度，而各角相等规定这些边彼此相交的方式；单独满足其中任何一个条件都不充分。因此，正多边形被视为多个部分之间受控制的关系，而不仅仅是一个易于辨认的轮廓。

这一概念属于欧几里得《几何原本》文献所发展出的平面几何学。该书从定义、公设和公理开始。点被定义为没有部分的东西；公设允许进行若干操作，其中包括连接任意两点作直线，以及以任意一点为圆心、以任意距离为半径作圆。这些基础使人们能够讨论多边形的相等，而不把图示当作无需证明即可自足的依据。

作图与证明

第四卷赋予正多边形以操作性的作用。该卷的问题主要涉及正多边形与圆的内接和外接，也就是说，图形以系统的方式与圆发生关系——或者置于圆内，或者围绕圆作出。因此，正多边形不仅是一个需要命名的对象，也是一个必须在规定条件下作出的对象。

所允许使用的工具是直尺和圆规，而对这些工具的限制被表述为公设的目的。作图必须说明如何使用这些工具作出所要求的图形；随后，证明必须证明所指出的过程确实达到了要求的结果。对于正多边形而言，这一区分把各边各角相等的可见外观，与确立其相等性的推理区别开来。

该书关于叠合法的一般公理也阐明了相等的力量。叠合法是设想将一个量置于另一个量之上，使每一部分都完全重合的过程。在这一框架内，相等的边和相等的角并不只是均衡图示所造成的印象。它们是可以通过几何推理检验的关系，而图示则提供了推理赖以运作的有序材料。

第四卷中的正多边形

后面的命题将定义应用于具体作图。其中一个命题要求围绕给定的圆作一个等边等角五边形。另一个命题要求在给定的圆内作一个等边等角六边形。还有一个命题涉及在给定的圆内接一个等边等角十五边形。每一种表述都重复了“等边”和“等角”这两个定义特征，从而使边数的具体差异不会取代其背后的概念。

这些作图还显示出从一般定义到日益具体的实例的进展。五边形围绕给定的圆作出，六边形作于圆内，十五边形同样内接于圆。这些不同的安排表明，正性既可以支配包围性的图形，也可以支配被包围的图形。在每一种情况下，圆都提供了确定的几何环境，而多边形的等边和等角则提供了作图与证明必须保持的条件。

六边形命题尤其明确地揭示了正性与早期几何之间的关系。其推理援引了垂直关系、对顶角状态的相等、相等的弧以及相等的弦。它还指出，六边形的每一个角都是等边三角形的一个角的两倍，因此六边形是等角的。于是，正性通过一连串已经确立的关系显现出来——角的相等与弧和弦相联系，而等边三角形则成为衡量六边形各角的尺度。

方法论与视觉意义

正多边形的处理属于一种更广泛的几何证明论述，在这种论述中，图示是几何科学的材料。该书主张，彩色符号、记号和图示能够使推理更加精确，并使达到结论的过程更加迅速。在这种方法中，附着于点和直线的字母只是任意的名称，而不同颜色的部分则可能看起来仿佛是在自我命名，因为它们的形状由相应的颜色表现出来。

这种视觉系统尤其适合处理那些必须在许多边和角之间追踪其定义关系的图形。颜色可以区分作图的各个部分，但不能取代证明——形式系统仍然依赖定义、公设、公理和证明。据发明者以及其他采用这些方案的人所报告的实验，所声称的教育优势是，欧几里得《几何原本》文献可以用通常所需时间的不到三分之一掌握，并且能够更加长久地保持。因而，正多边形作图处于两种要求的交汇点——图形必须在视觉上变得易于理解，而其相等条件又必须保持在逻辑上可证明。

这一概念的重要性在于对称、作图与证明的结合。正多边形可以通过均衡在视觉上被辨认出来，然而欧几里得《几何原本》文献将这种均衡转化为一种严谨的数学条件。通过精确定义相等、将作图限制于直尺和圆规，并把具体多边形与圆联系起来，该书把正性呈现为推理的成果，而不是图画的装饰效果。