球体揭示三维空间
平面国《球体揭示三维空间》这次相遇使正方形从推测走向直接体验——球体以一个看似完美的圆形进入平地国，展示高维存在者如何看见并行动于平面之外，最后将正方形带入空间国。这次揭示不仅改变了正方形所能看见的事物，也改变了他对空间本质的理解——他曾视为包罗一切的世界，原来只是更大现实中的一个有限表面。
语言与视觉的局限
这次相遇始于正方形驳斥他最年幼的外孙提出的想法——三维空间或许具有几何意义。正方形称这孩子是傻瓜，坚持说这种说法毫无意义。一个存在回应了他，随后一个身影出现在房间里。正方形的妻子起初把来客误认为女性，但她走近试着触摸对方时，发现对方既没有角，也没有粗糙之处。来客说，从某种意义上讲，他是一个圆形，但更准确地说，他是一个由许多个圆形组成的整体。正方形的妻子退下后，新千年已经开始，球体便可以私下与正方形交谈。
球体最初的解释与平地国的思维习惯相冲突。正方形坚持认为，维度必须有可测量的方向，并要求球体指出所谓的高度。单靠言语，球体无法使那个方向变得易于理解——正方形的眼睛局限于自己的平面，而从平面之外观察这一想法本身，在他看来就荒谬至极。球体转而解释，平地国是一片平坦的表面，居民在其上或其中移动，而他来自一个三维之地。从他所在的位置，他能看见平地居民视为封闭立体的内部——他们的房屋、教堂、箱子、保险柜，甚至他们的身体。
球体解释说，平地国只能显现他的一部分。他的完整形态是一个立体，但当他与平面相交时，居民看到的便是一个圆形——一连串大小不一的圆形截面，从一个点逐渐增大，直到直径十三英寸的圆形。这个解释让正方形想起自己此前在林地国的经历——由于那个世界没有能容纳他完整形态的维度，他在那里的君主眼中只是一条直线。由此可见，在一个世界里看似完整的存在，在更大的世界中可能只是一片截面。
为了给正方形提供一种可凭他有限的视觉加以验证的证据，球体升了起来。正方形看见圆形缩小，逐渐缩成一个点，然后消失；接着，球体的声音从视线之外传来，并承诺会回来。当圆形再次出现并逐渐变大时，正方形亲眼见到了不断变化的截面，却依然无法理解其原因。这番演示让核心差异变得清晰可见——球体可以朝正方形无法感知的方向移动，而正方形的证据仅限于自身平面内的变化。
以行动证明
球体未能用言语说服正方形后，转而进行一场具体的检验，使教诲更具说服力。他说自己能看见上锁的柜子里面，并指出里面有几盒钱和两本账册。尽管正方形锁上了柜子，并拿着钥匙，球体仍在没有移动柜门的情况下进入柜中，取走一本账册。正方形打开柜子，发现账册不见了；随后，球体又让账册出现在房间另一角的地板上。这些物件和上锁的柜门，将关于接触不可见之物的抽象主张，变成了对正方形日常认知的明确突破。
球体指出，平地居民把表面误认为立体，把平面误认为全部空间。从平面之外，他能查看内部；从更高处，他能看见平地国更远的地方，尽管所见之物会变得更小。他描述了自己如何看见正方形的六边形邻居及其家人的住处内部，看见十扇门之外的剧院里观众散场，还看见一名圆形正在书房里工作。这些例子表明，空间位置能带来知识与力量——对身处平地国之内的人无法接近之物，能够离开平地国的观察者却可以一览无遗。
球体的演示也使这次相遇成为一次试图改变正方形信仰的行动。他原本希望正方形身为通情达理的人和造诣高深的数学家，能够成为《三维空间的福音》的传道者；球体说，自己每一千年才获准宣讲一次。然而，面对这番奇异的证明，正方形非但没有接受，反而奋起抵抗。他试图用一个直角击打球体，并指控他装神弄鬼。球体避开正方形的触碰，随即消失，表明正方形的力量和视觉一样，都无法越过平面的边界。
被迫跨入空间国
正方形的妻子走近时，球体警告说，不可让任何陌生人目睹正方形所见，并催促他让妻子离开。他担心她的到来会破坏福音，白白浪费一千年的等待。正方形拒绝了，仍称球体疯癫且不规则，并宣称不会放他走。球体则亲自跨越界限——宣布正方形的命运后，将他送出了平面。
正方形首先将这段经历感受为一种断裂。黑暗消退后，一种眩晕而令人作呕的感觉取代了寻常的视觉；他看见一条并非直线的线，以及并非空间的空间，感觉自己既是自己，又不是自己。他大喊，这种经历一定是疯癫或地狱。球体纠正他说，这是知识，是三维空间。从惊恐转为看见，标志着这场经历发生了决定性的逆转。过去无法用言语指明的事物，如今成为正方形能够亲眼看见的世界。
在空间国，正方形看见了球体的完整形态，而不再只是球体在平地国显现的圆形。他能够看见球体似乎位于中心的部分，却看不见心脏、肺、动脉或其他内部器官。球体解释说，正方形看到的并非他的内部部件——球体属于另一种存在，由许多个圆形组成，是“一中有多”。正如立方体的外形看起来是一个正方形，球体的外形看起来是一个圆形。正方形的新视觉推翻了他过去的确信，却没有赋予他无限的知识；即使在更高维度中，他所能感知的事物仍有边界。
新视角所揭示的事物
球体利用正方形位置的变化，向他展示一个可见的角；正方形此前虽曾推想过角，却从未亲眼看见。随后，球体带他俯视自己的五边形住宅。正方形看见四个儿子睡在西北边的房间里，两个失去双亲的外孙住在南边；还看见仆人、管家，以及各自住在不同房间里的女儿。正方形的妻子因他迟迟不归而心生不安，已经离开房间，焦急地在大厅里走动。听到正方形叫喊后醒来的侍童，正在正方形书房里翻找柜子，借口是查看正方形是否摔倒。正方形如今能够看见自己先前只能靠推断得知的事物，包括柜子里的内容、两箱黄金，以及球体提到的账册。
视野扩大之后，观察范围进一步超出这个家。当球体和正方形升得离平地国更远时，视野随之拓宽——城市及其房屋和居民的内部以微缩的形态显现出来，接着还有山丘中的矿井和洞穴深处。正方形以为这种无所不见的视力就是全视能力，是他的国家里的智者专门留给上帝的特质。球体指出，即使在他自己的国家里，扒手和杀人强盗也能看见正方形如今所见的一切，从而驳斥了这种假设。更强的视觉能力是相对的，并非神圣；在低维度看来似乎超自然的力量，在更高维度中可能只是寻常能力。
这次揭示将一连串对事物接触能力的变化联系在一起——从正方形视线中消失的圆形、从上锁柜子里离开的账册，以及被带出平面的正方形本人。每一种情形下，限制都不属于现实本身，而属于观察者所处的位置。球体的教诲并未让正方形掌握一切奥秘——他甚至看不见球体的器官——却打破了平地国可见表面穷尽一切存在的假设。这次相遇使维度等级成为运动、感知和知识方面的切身差异，同时也给正方形留下一个有待理解的新世界，并使他明白，自己从前的种种确信都受限于自身所处的位置。
