正方形与兄弟的兄弟关系
平面国正方形与兄弟的兄弟关系由一种亲密的矛盾所界定——正方形的兄弟公正、开朗而亲切，但多年反复解释，仍未能使他相信第三维度。他们的亲情经受住了政治镇压和监禁，却无法跨越正方形的经历使他无法忽视的感知差异。
身份与家庭角色
正方形的兄弟是一个完全对称的正方形，担任最高议会的首席书记。在关于议会千年会议的记述中，他宣读早先各届会议的记录；就在正方形的私人证词即将变得具有政治危险之际，他身处国家官方记录工作的核心。
他的职务使两兄弟分处同一事件的对立面，却没有令他们彼此敌对。兄弟参与议会的正式事务，而正方形则是见证者，他已经认识到议会的记录和教义无法容纳某些事实。尽管公共权力将他们置于不同立场，亲情仍是私人的纽带。
议会及其后果
在公元二〇〇〇年第一天的第一时辰，议会重申了一项最早于先前千年会议上通过的决议——对于声称从另一个世界获得启示的人，应按其阶级处置；不规则图形要被消灭或惩罚，阶级较高者则要被逮捕审查。这项政策使正方形对其他维度的认识直接威胁到他的人身安全。
球体出现在议员面前并宣告三维空间的存在时，议会主席援引秘密档案，解释说类似的显现曾在前两次千年纪元之初发生。主席命令卫兵逮捕并堵住目睹此事的警察的嘴。他还判处正方形的兄弟终身监禁，对不得不依据保密规定和先例作出这一判决表示遗憾，同时承诺，只要兄弟保持沉默，便会饶他一命。
兄弟遭到监禁，使这段亲情成为议会遏制知识行动的一部分。他并未被描绘成揭发正方形的对手，而是一名非自愿的见证者；由于在场目睹启示，他也落入了同一套保密机制。兄弟的遭遇与正方形相似，但两人最终同遭囚禁，并未因此获得相同的理解。
监禁与反复解释
七年后，正方形仍是囚犯，除了狱卒和兄弟偶尔的探访外，与人全无往来。正方形称兄弟是最优秀的正方形之一——公正、通情达理、开朗，也不乏手足之情。这些探访维系着一段有意义的亲情，但每周重复到访，也显露出这段关系的局限。
球体在议会厅显现时，兄弟就在场。他看见球体不断变化的截面，也听到了向圆形阶层所作的解释。尽管如此，正方形几乎每周都要重述自己在那次显现中的经历，描述间地国的种种现象，并以类比论证实体存在。坚持讲解，使每次探访都成了反复的考验——共同见闻和亲情信任能否促成信念。
答案是否定的。正方形羞愧地承认，兄弟至今仍未领会第三维度，并公开不相信球体的存在。这一失败格外令人痛心，因为兄弟既非陌生人，也不是全然不知情的听众——他亲眼见过那件事，也听过解释，却在此后七年里接受了更多教导，仍未信服。
亲情、疏离与意义
因此，这段关系既非简单的同心协力，也非单纯的拒绝。兄弟的情意足够真挚，足以在监禁期间维持探访，正方形也认可他的品格；但亲情无法使他接受那套已经彻底改变正方形现实观的叙述。他们越亲近，失望便越发尖锐，而非随之消解——正方形最常相伴的人，也是唯一看来可能被说服的人，而这种可能一次次落空。
正方形断定自己绝无任何信徒，并思索这场千年启示是否徒然降临于他。他将自己比作普罗米修斯——因未能把任何东西带给同胞而遭到囚禁；这一比喻使兄弟的不信成为更广泛的传达失败的一部分。即使是离事件最近的见证者，也无法将其意义传递到自身理解的限度之外。
这段关系也使见证所带来的希望变得复杂。正方形可以讲述发生过的事，描述不断变化的截面，并依据类比进行推理，但无论亲眼见证还是反复解释，都不能保证他人会看见他所看见的东西。两兄弟的亲情在探访与关爱中延续，思想上的认同却没有实现。他们之间未解的隔阂，使书中关于维度体验的冲突，以及向受限于另一种空间观念的人阐明这种体验的困难，获得了具体的个人形式。
