正方形与外孙的祖孙关系

正方形与外孙的祖孙关系以智识上的亲近、两人质疑扁平国局限的意愿截然不同，以及长者反而不如孩子能够解释自己所学到的知识为特征。最年幼的外孙询问3^3的含义，首次让正方形得到一个有关第三维度的初步论证；正方形与球体相遇之后，同一个男孩成了他打算收下的第一位门徒。他们尝试授课，最终没有使男孩信服，反而以孩子发笑离去告终，使这段亲缘关系成为抽象可能性遭遇权威压力与语言局限的场景。

外孙首次提出几何挑战

正方形介绍最年幼的外孙时，称他是一个前途无量的年轻六边形，格外聪颖，棱角也十分规整。一次视觉辨认课上，正方形和他的儿子们以不同速度绕着各自的中心转动，由男孩辨认他们的位置。正方形对他的回答感到满意，便以讲授几何运算中的算术作为奖励。这堂课既体现了他们作为师生的亲近，也展现出祖父对传统且可以验证的教育方式的信心。

正方形用九个一英寸见方的小正方形拼成一个更大的正方形，其边长为三英寸。他解释说，尽管扁平国居民看不见正方形的内部，却可以把边长平方来计算面积——三的平方等于九平方英寸。这番演示通过测量，使不可见的内部变得可以认识。它也给出了推理依据，而孩子将把这种推理延伸到教师所认可的界限之外。

最年幼的外孙问，第三次幂3^3在几何学中可能意味着什么，因为正方形教过他如何把数字提升到这个幂次。正方形否定了这种可能性——几何学只有两个维度。随后，他重新讲解公认的推演过程，说明一个点移动三英寸便形成一条线，而一条线平行于自身移动同样的距离便形成一个正方形。男孩顺着这个模式进一步推想——也许正方形平行于自身移动，就能形成另一种图形，向每个方向都延伸三英寸，并以3^3表示。他无法想象这种移动如何发生，也说不清它会产生什么，但他的推论指出了一种可能性，而祖父的课程早已预先排除了这种可能。

正方形让他上床睡觉，并告诉他，若想记住正经道理，就少说些荒唐话。最年幼的外孙羞愧地退场，正方形却仍为他的提议所困。随着旧千年交替为新千年，正方形把半小时沙漏转向北方，称男孩是个傻瓜，但这个念头依然挥之不去。这一幕的反讽在于孩子不完整的想象与成年人的拒绝之间有所区别——男孩无法解释第三维度，但他的推演已经触及一个正方形无法置之不理的问题。

从家庭课程到秘密教导

球体向正方形揭示了更高空间存在的可能后，祖父开始考虑可以安全教导谁。他的五边形儿子都是受人尊敬的医生，却缺少数学才能；更糟的是，他们的爱国心以及对圆形阶层的敬仰，可能会让他们在听到他宣扬第三维度这一异端邪说时向执政官告发他。相较之下，最年幼的外孙既有数学天赋，在正方形看来又太年轻，不知道议会已发布禁止宣扬来自另一世界之启示的公告。因此，正方形选他做第一位学生，认为他们的亲缘关系既带来智识上的希望，也能提供保护。

开始授课之前，正方形应付了妻子对那位圆形来访者神秘行踪的好奇，却没有提及三维空间。他随后把男孩叫来，感觉自己获得启示的经历已像一个只抓住一半的梦那样渐渐消退，因此想试试自己能否成功收下一名门徒。于是，这堂家庭课程变成了秘密行动——祖父不再只是继续一项家庭练习，而是在尝试把禁忌知识传给自己认为最安全的亲属，以保存这份知识。

正方形锁好门，拿出他们的数学板，把它们称作线。他复习一个点沿一个维度移动会产生一条线，以及一条线沿两个维度移动会产生一个正方形。接着，他开玩笑似地让男孩重述先前的猜想，问正方形能否向上，而不是向北移动，从而产生一个三维图形。他轻松的语气掩盖不了其中的利害——他正在试探孩子能否重新提出那个自己曾经否定的想法。

公告与失败的课程

传令官再次宣读公告，打断了他们，宣布议会通过决议，要逮捕、监禁或处死任何以妄想蛊惑人心，或宣称得到来自另一世界之启示的人。最年幼的外孙清楚地意识到了危险。尽管他年纪尚小、聪明伶俐，却从小敬仰圆形阶层；公告结束后，他突然哭了起来，否认自己先前的提议。他坚称那不过是个玩笑，当初说时他们俩都不知道新法，也从未谈到第三维度，更没有说过向上而非向北移动。他的退缩显示，一个孩子的好奇心会多么迅速地被描绘成危险之事，甚至令他自己也这样看待。

正方形发起脾气，试图用旁边一块可移动的正方形演示这种移动。他抓起它，声称自己让它向上而非向北移动，却说不清它究竟向何处、如何移动；最后只是毫无目的地摇晃物体。本应让课程具体化的实物，反而暴露出他无法把对另一维度的认识转化为扁平国居民能够理解的移动方式。最年幼的外孙笑得更厉害，指责正方形是在开玩笑而不是教他，随后打开门锁，跑了出去。正方形第一次尝试使学生信服便以失败告终，原因不是男孩缺乏才智，而是祖父无法作出连贯的演示，而且议会的威胁早已让这个话题变得可怕。

知识与权力使关系颠倒

两堂课使两人的关系出现了鲜明的颠倒。起初，正方形掌握解释权，把孩子的推理当作胡言乱语；与球体相遇之后，他却回来找同一个孩子，想弄清这个想法能否传达出去。然而，祖父新获得的知识并没有让他成为更有效的教师。最年幼的外孙先前的论证从点到线，再到正方形，随后推演出更进一步的图形，步步谨慎；正方形后来却在从正方形到立体这一关键步骤上受阻。因此，尽管孩子后来迫于压力收回了自己的说法，他最初的洞见仍比成年人的演示更有力。

这些片段也展现了公共权威如何塑造亲密的家庭关系。正方形信任这个男孩胜过自己的儿子，因为他以为男孩尚未触及议会的政治势力范围；公告却证明，即使是这堂受到保护的课程，也无法安全地保持私密。因此，孩子对圆形阶层的忠诚和对新法的恐惧，压过了他追寻自己先前想法的意愿。他们失败的交流因而既是一幕教学场景，也简要呈现了禁忌知识如何遭到打断——一套家庭用的数学板、一块可移动的正方形，以及被孩子打开的门，构成了这堂无法完成的课程的具体场景。

正方形与最年幼的外孙仍由一个从一堂课延续到下一堂课的问题联系在一起——熟悉的正方形能否沿着扁平国居民无法命名的方向移动？男孩最初通过算术提出这种可能；祖父后来试图通过移动来教他，却无法使这种移动变得可以理解。他们的关系使这本书得以反复衡量正方形自身的变化——他曾斥为孩子气的胡言乱语，如今成了他迫切想要传达的洞见；而提出这个想法的孩子，却在威胁之下不情愿地否认了它。