圆规

圆规是欧几里得几何学中的基础作图仪器。它的决定性意义在于把物理操作与演绎证明结合起来——圆规与直尺共同规定了平面几何学所允许的实际手段，而各命题则表明，运用这些手段所进行的操作能够产生已经确立的几何关系。

定义与几何地位

这一仪器通过欧几里得公设中的第三条进入整个体系；该公设规定，可以以任意一点为圆心、以任意距离为半径作圆。这条公设并非仅仅提及一种绘图器具；它确立了这样一种几何操作的合法性——把选定的距离围绕一个圆心转移，从而形成一个圆。因此，圆规处于理想数学对象与表现该对象的受控行为之间的边界上。

本书把这种仪器同几何学本身所考察的图形和量区分开来。圆、圆心及其半径属于平面图形的概念词汇，而圆规则提供了作出该圆的许可手段。由此得到的作图不被视为经验测量，而被视为一种步骤，其有效性可以纳入证明之中。

在欧几里得方法中的地位

圆规明确地与直尺配对，成为欧几里得几何学，即平面几何学中仅有的获准仪器之一。这种限制被说明为公设的目的所在——几何学不是允许不受限制的机械辅助，而是先规定哪些基本操作可以被假定。这个限制赋予仪器以方法论的重要性。它使作图能够重复进行，并使证明始终联系于一组少量而明确的操作。

按照本书对命题的分类，一个问题要求完成某件事情，例如画一条直线、作一个圆，或在给定条件下构造一个图形。其解答必须说明如何使用直尺和圆规作出所要求的对象；随后，其证明还必须证明所指示的过程确实达到了要求的结果。因此，圆规不仅属于绘图的实际词汇，也属于把作图与证明区分开的逻辑结构。

作图、叠合法与证明

圆规的操作是在一个更广泛的体系中理解的，这个体系包括定义、公设、公理和叠合法。叠合法指的是把一个量放置在另一个量上，使各个部分完全重合的观念。在这一框架中，由圆规确定的距离可以参与比较和重合，而不必被化约为非正式的视觉估计。所画的圆遂成为构造或检验直线、角和图形之间关系的稳定基础。

本书开篇的命题立即把作图置于全书中心——第一卷从一个问题开始，其标题要求对一条给定的有限直线进行操作；后面的命题还包括从给定点向一条给定的无限直线作垂线。虽然现存标题没有重现圆规的每一个动作，但它们把这种仪器置于制作欧几里得图形的实际步骤之中。因此，圆规的重要性是累积性的——每一次获准的作图，都为以后能够证明某个定理准备条件。

物质工具与教育体系

圆规也支持本书关于几何学是一种可理解、可传授实践的更宏大论述。书中主张，当视觉部分能够通过其形状和颜色加以辨认时，图示会使关系更加直接；同时又坚持认为，颜色仅仅是对一条线或一个部分的称谓，与其数学大小毫无关系。这一区分与圆规的地位相呼应——物质性的痕迹有助于接近观念，但证明所涉及的是几何关系，而不是痕迹的物质外观。

更广泛的教学主张是，几何学应当把理性、事实和证明铭刻于理解之中，而不是训练学生把证明死记硬背。彩色图示被认为格外有效，因为在口头教学中，可以同时诉诸视觉和听觉。书中还把有形图示描述为一种媒介，通过它可以向盲人学习者教授几何学以及其他线性艺术与科学；同时又认为视觉体系适合聋人和不会说话的学习者的需要。在这一教育计划中，圆规是纪律严明的构造性语言的一个组成部分——它帮助人们把抽象关系掌握为可理解的对象，但这些关系仍须对定义和证明负责。

意义

圆规体现了欧几里得几何学所具有的典型简约性。一种小巧而严格受限的仪器被赋予一种精确操作；这种操作产生圆并转移距离；由此形成的作图又成为从体系所接受的基础推导出的证明中的前提。因此，它的意义并非装饰性的，也不只是技术性的。它代表了本书的信念——数学知识可以由简单、公开的行为建立起来，而这些行为的后果由推理保障，而不是由权威、记忆或图示具有说服力的外观来保障。