复合比状态

复合比是这样一种关系——通过介于其间的各个量之间的一系列比，将第一个量与最后一个量进行比较。它的决定性意义在于，把一连串彼此分立的比较转化为一个有组织的比，为贯穿《几何原本》的比例推理奠定基础。

定义与结构

复合比始于依次排列的同类量。第一个量与最后一个量之比，被称为由第一个量与第二个量之比、第二个量与第三个量之比、第三个量与第四个量之比，依此类推直至最后一个量所复合成的比。因此，若甲、乙、丙、丁是四个同类量，则甲通过甲与乙、乙与丙以及丙与丁的一系列比，与丁发生关系。

该定义并不把中间量视为偶然添加的成分。它们是建立复合关系的连接环节。因此，首项与末项之间的比，记录的是沿整个链条有序推进的过程，而不只是孤立地考察直接比较。

代数解释

这部著作通过算术或代数解释说明该定义——由若干个比复合成的比，其前项是所有相关前项的连乘积，其后项是所有相关后项的连乘积。用现代记号表示，各个比是以乘法方式结合，而不只是并列罗列。

数值例子使这一运算具体化。比一比二、三比四、六比十一和二比五，组合为一乘三乘六乘二与二乘四乘十一乘五之比，得到三十六比四百四十；约简后为九比一百一十。这个例子既展示了机械运算规则，也说明了在乘积形成后，可以进一步化简所得的比。

同一原则也适用于更长的链条。对于甲、乙、丙、丁、戊、己这些同类量，甲比己是甲比乙、乙比丙、丙比丁、丁比戊和戊比己的复合比。中间各项同时出现在两边的乘积中，表明整个连续过程是通过累积的前项与后项来表示的。

与著作几何学的关系

复合比属于一个更大的体系，在这个体系中，几何知识通过定义、公设、公理、作图题、定理和证明加以组织。定义说明所讨论对象与关系的含义；公设准许进行特定的作图，例如连接两点作直线，或以给定的圆心和半径作圆；公理陈述被视为自明的一般命题。因此，复合比并非孤立的计算工具，而是一种形式化定义的关系，可供后续证明使用。

本书区分作图题与定理——作图题提出需要完成的事项，并且必须说明如何使用直尺和圆规构造出来；定理则断言一个原理，并从定义、公理或已经确立的真理中加以证明。复合比作用于这一结构中构成定理的一侧——它为结合比例关系提供精确语言，使关于量的结论能够被推导出来，而不只是从图形中观察得到。

这种形式化处理也体现了该著作更广泛的坚持，即几何推理应当“教人如何思考，而非思考什么”。视觉图形可以使关系立即变得易于理解，但复合比的定义准确规定了若干关系应当如何连接并获得论证。

概念意义

复合比的状态标志着从初等比较走向关系复合。单一的比表达两个量之间的一种对应关系；复合比则保留若干对应关系的次序与相互作用，同时把它们呈现为首项与末项之间的一个关系。它的力量就在于这种不损失结构的压缩。

这一概念还展示了欧几里得几何学如何把直观作图与抽象推理结合起来。该体系在平面几何中只允许使用直尺和圆规作为工具，但其中的命题所依赖的不只是可见的绘图行为。通过定义、叠合法、公理和证明，图形表面的简洁性被转化为一条可以追究根据的推理链。复合比正是这种转化最清晰的实例之一——连续的比较成为一个受到形式规则控制的整体。