平方比状态

平方比状态是通过三个按连续比例排列的量所定义的一种成比例关系。其决定性特征在于，第一个量与第三个量之比，是第一个量与第二个量之比的平方，因此，单一比较被转化为复合的二次关系。

定义与结构

当三个量成比例时，就说第一个量与第三个量之比，是它与第二个量之比的平方比状态。这个定义取决于各量的次序——第一量与第二量的比较提供原始比例，而第一量与第三量的比较则表示该比例的平方。因此，平方比状态并不只是说两个比例恰好相等；它记录了一条特定的比例序列，以及通过延续这条序列所产生的关系。

其基础排列是一串连续成比例的量。若以甲、乙、丙表示这些量，则甲与乙之比，等于乙与丙之比。在这种排列中，就说甲与丙之比，是甲与乙之比的平方比状态。因此，第三个量并非一个无关的参照点，而是使原始比例成为平方的最后一项。

代数意义

文本通过说明甲与丙之比是甲与乙之比的平方，来表达这种关系。因此，从符号形式看，平方比状态是平方比，而不是对最初比较的简单重复。这个定义把几何比例关系与乘法联系起来——连续比例提供重复的因子，而外项之间的比较显示由此产生的平方。

数值模式能使这种结构更加清楚。若甲、乙、丙连续成比例，则这种关系可写作甲∶乙∷乙∶丙；甲与丙之比于是表示甲与乙之比的平方。同一点还可通过以量a和比值r表示的量加以重述——比例的延续产生平方表达式，而外项之比等于相邻项之比的平方。反复的代数表述进一步强调，平方比状态是对一个比例所进行的运算，而不只是一个表示视觉相似的名称。

与几何证明的关系

在本书更广泛的方法中，这一定义属于这样一个体系——数学关系通过图形、色彩以及经过谨慎指定的符号角色而变得更加直观。本书把几何图形本身同用于讨论图形的代表性标记区分开来——图形的各部分是几何科学的材料，而字母或色彩则在证明过程中标识这些部分。平方比状态遵循同样的有序指称原则，尽管其本质关系是比例性的和数值性的，而不只是视觉性的。

彩色体系被介绍为一种方法，旨在使相应部分比任意字母组成的序列更快地自行显现。在口头证明中，可以立即向全班指出一个有颜色的角或线；而字母标记则要求学生追踪这些字母，并重新构想所指的部分。这一教育主张也阐明了比例概念的呈现方式——其目的在于使相关各项及其关系持续呈现在学习者面前，而不是让它们成为彼此脱节的文字公式。

在数学体系中的位置

平方比状态依赖于支配本书定义、公设和公理的同一种形式纪律。点被定义为没有部分的东西；公设规定，除其他事项外，可以从任意一点向任意另一点作直线，并且可以以任意中心、取该中心至任意距离作圆；公理则陈述关于量的一般原则，包括关于与同一量相等的量之间关系的原则。这些基础确立了区分原始假设、定义和已证明结论的习惯。

这一概念还与本书关于叠合法的论述并列——按照叠合法，可以设想把一个量置于另一个量之上，使相应部分完全重合。这类程序通过受控的对应关系，使相等和比较变得可以理解。平方比状态把这种比较逻辑从直接重合或相等扩展到比例关系，在这种关系中，外项编码了内项比例的平方。

教育意义

本书声称，彩色证明的学习时间可以少于通常所需时间的三分之一，并且能够更长久地保留；书中将这些结果归因于发明者及其他采用该方法者所进行的实验。本书还主张，在课堂教学中同时诉诸视觉和听觉尤其有利，因为口头说明与可见图形会在同一时刻相互强化。

这种方法反对不求理解地背诵证明。当相等的部分使用相同的色彩时，这种排列被称为视觉证明，能够使已知数据在整个推理过程中持续呈现在学习者面前。平方比状态具有重复的比例结构和平方结果，体现了适合这种连续性的关系类型——学习者必须保持三个量的次序，同时跟随最初比例如何经过比例关系传递到外项。色彩在数学上并不属于某条线、某个角或某个量；它只作为相关部分的名称发挥作用。数学内容始终是比例关系本身。