几何相似状态

几何相似状态，也称相似图形，描述直线图形之间的一种精确对应——它们的各个角彼此相等，同时围绕相等角的边成比例。这一定义使几何相似状态既不是模糊的相像，也不主张图形必须具有相同大小。它确认了一种结构上的相同，这种相同通过对应角以及围绕这些角的成比例边得以保持。

定义与条件

几何相似状态取决于共同发挥作用的两个条件。相等的对应角确立图形的角度模式；成比例的边确立邻接这些角的各部分之间的尺度关系。按照正文给出的定义，单独具备任何一个条件都不足以构成几何相似状态。因此，这种关系将形状与度量结合起来——图形的大小可以不同，同时保持相同的角度排列以及对应边之间相同的比值。

“彼此相等”这一措辞赋予对应关系以精确性。几何相似状态不是通过比较孤立特征来判断的，也不能仅凭图画的外观来判断。每一个相关角都必须有其对应角，而围绕这些相等角的边必须处于成比例关系之中。这使这种状态适合用于证明，而不只是用于视觉辨认。

在几何学体系中的位置

这一概念属于支配欧几里得前六卷的定义、公设、公理和命题体系。定义引入几何学的对象与关系；公设许可特定的构造；公理陈述被视为不言自明而接受的一般真理；证明则从这些基础出发，通过推理证明命题。因此，几何相似状态被呈现为一种形式化的几何状态，其应用可以通过既定关系加以检验，而不是从外观直接断言。

周围的框架从基本对象和操作开始。本书将点定义为没有部分的东西，并将允许使用的工具限定为直尺和圆规。一条公设允许从任意一点向任意另一点画直线，另一条公设则允许以任意一点为圆心、以任意距离为半径作圆。这些构造许可提供了直线、圆和图形，使角、长度和比例关系得以考察。

构造、图示与证明

当图示被作为推理材料对待时，几何相似状态尤其重要。本书将几何图示与普通的代表性符号区分开来——图示被呈现为几何科学的材料，而几何科学的目标，是通过一种称为证明的过程展示其各部分的相对量。因此，一项构造可以将两个图形并列展示，或置于同一构形之中；但证明必须确立它们的对应部分为何具有所要求的相等性和成比例性。

叠合法是本书所陈述的观念和程序之一，即设想将一个量置于另一个量之上，使每一部分都完全重合。虽然几何相似状态并不等同于几何相等状态，但这一操作阐明了本书对于对应关系的更广泛关注。完全重合可以确立相等；成比例的对应则将同样的受控比较要求扩展到大小不必重合的图形上。这一区分保留了两种关系——相等图形在大小上相配，而相似图形则通过相等角和成比例边共享形式。

问题要求完成某件事情，例如在给定条件下画一条线或构造一个图形；问题的解说明如何使用直尺和圆规完成所要求的动作，而问题的证明则证明所指示的过程能够达到所要求的结果。相比之下，定理断言从定义、公理或先前确立的真理中演绎出的原则为真。几何相似状态在这一差别中发挥作用，既可以作为构造能够产生的条件，也可以作为定理能够分析的条件。

视觉传达与意义

本版的彩色几何教学法使几何相似状态具有特别鲜明的视觉作用。它主张语言由代表性符号构成，而符号若能精准且迅速地实现其目的，便是最好的符号。在通常使用中，被称为词语的听觉符号可以诉诸耳朵，或通过字母传达到眼睛；然而在几何学中，图示的彩色部分旨在使相关形状自行显现。颜色取代任意的字母名称，成为直接区分证明中所涉及各部分的手段。

这一视觉体系并不以外观取代证明。相反，它被呈现为使推理更加精确、使其获得更加迅速的手段。正文声称，根据发明者以及采用这些方案的其他人的实验，在这种方法下，欧几里得《几何原本》文献可以用通常所需时间不到三分之一的时间学会，并且能够更加持久地保留。几何相似状态体现了其中的基本原则——对应角和成比例边可以组织成一个可见体系，而定义与证明则决定这一体系能够证明什么。

几何相似状态由此将眼睛对形式的识别同公理化推理的纪律联系起来。它命名了一种关系，在这种关系中，大小的差异不会破坏结构上的同一性；它还展示了构造、比例、对应与证明如何彼此协作，同时不把几何学简化为纯粹符号或未经证明的视觉直觉。