比例复合

比例复合是这样一条规则——将同类量之间若干次连续的比较视为一次复合比较。它的重要性在于把一串局部关系转化为首项与末项之间的单一关系，从而使比例推理具有精确结构，并能以几何方式加以证明、以代数方式予以阐明。

定义与结构

论述首先给出复合比例的形式定义。当若干同类量依次排列时，就说第一量与最后一量之比，是由第一量与第二量之比、第二量与第三量之比、第三量与第四量之比，依此类推直到最后一个量的各个比例复合而成。对于四个量甲、乙、丙和D，A与D之比因此要通过A与B、B与C以及C与D的连续比例来理解。复合关系并不是彼此无关的新比较，而是连接两端的中间比较经过有序组织后的结果。 同一定义也允许用另一个相等的比例替换某个比例。如果若干相应比例分别相等，那么由其中一组形成的比例，就可以说是由与另一组比例相同的各个比例复合而成。这使比例复合成为一种关系运算——重要的不是各个量的具体名称，而是组成比例的相等性，以及它们组合时所遵循的次序。

代数解释

著作通过算术或代数说明使这一定义更加易懂。由若干比例复合而成的比例，其前项被说明为各组成比例前项的连续乘积，其后项则为各组成比例后项的连续乘积。因此，这一运算可以表示为先将相应的第一项和第二项分别相乘，再比较所得的两个乘积。说明所列的组成比例为2∶3、4∶5、6∶11和2∶5；其复合比例由2与4、6、2相乘所得的积，同3与5、11、5相乘所得的积相比，得到96∶825，约简为32∶275。 对于量甲、乙、丙、D、E和F，著作还给出平行的表述。A∶F由A∶B、B∶C、C∶D、D∶E和E∶F复合而成。在这一表达式中，中间各项出现在连续比例所对应的两个乘积中，因此，这条链可以理解为相邻项的系统消去，最后留下初始量与最终量之间的关系。代数并不取代定义，而是揭示连续比较彼此衔接的机制。

与几何证明的关系

比例复合处于几何学证明体系之中。定义说明相关对象和关系的含义；公设赋予获准的作图，例如连接两点作直线，或以选定的圆心和半径作圆；公理陈述被视为自明的一般真理；证明则从这些基础出发，通过推理证明命题。定理断言某项原理为真，而问题则提出一项要用直尺和圆规完成的操作。比例复合属于同一门学科——从已经确立的关系出发，经过正当论证得出结论，而不是仅仅依赖外观。 奥利弗·伯恩的版本尤其重视视觉材料与数学推理之间的区别。几何图形被描述为几何科学的材料，其目的在于通过称为证明的推理过程，展示各部分的相对量。图形使关系能够被视觉把握，但证明确立的是由这些关系可以推出什么。在这一背景下，复合比例并不只是从算术借来的乘法规则，而是保持几何相关各量之间逻辑联系的一种方式。

彩色表示与认知运用

本书的彩色体系为比例推理提供了一套视觉语法。附着于点、直线或图形其他部分的普通字母，是证明中使用的任意名称；不同颜色的部分则意在自行表明其所指，因为相应的形状和颜色会在整个推理过程中代表这些部分。其目的在于兼顾速度与精确性——读者可以通过可见的颜色识别相关部分，而不必追踪一串字母，也不必在头脑中重新构造所指的量。 这种视觉上的简约也用于表示相等。当被给定为相等的各部分采用相同颜色时，这种安排便为待证明相等的部分提供了眼睛可以直接看到的说明，并帮助学习者在推理过程中记住已知资料。在口头教学中，可以让眼睛看到颜色，同时让耳朵听到解释，因此红色的角、蓝色的直线或其他着色部分都能被全班立即定位。这一体系既可作为普通字母标记的辅助，也可作为其替代，用于入门、快速回忆和更加持久的记忆。 然而，作者对颜色的含义设定了严格界限。数学直线是没有宽度的长度，不可能真正具有颜色。同一平面上两种颜色的交界，可以作为这类直线的常见表示；但是，当文字谈到黑线或红线时，所指对象是交界及其几何关系，而不是作为该量物理属性的颜色。颜色发挥的是命名和引导注意的作用，并不改变所推理的直线、角或量。

在知识理论中的位置

比例复合体现了本书更广泛的尝试——使数学知识既具有形式上的可靠性，又能被感官接近。文本把自明公理同通过推理获得的命题区分开来，并坚持证明必须说明所指出的过程确实达到其要求的终点。因此，彩色图示并不会使证明变得不必要。它们旨在防止学习者遗失已知资料、把一个部分同另一个部分混淆，或把证明降低为背诵的文字次序。 这一方法也反映了著作的教育抱负。书中声称，根据发明者以及其他采用该方案者所进行的实验，彩色呈现可以把掌握欧几里得《几何原本》文献所需的时间缩短到通常时期的三分之一以下，并使记忆更加持久。无论是否接受这一主张的全部幅度，其基本原则都很明确——比例复合应当继续以关系链的形式保持可见，而形式推理则解释这条链为何能够产生最终的比较。因此，这一概念把精确比例、证明逻辑和学习理论结合起来；在这种学习理论中，眼睛有助于保存证明所确立的结构。