最年幼的外孙
平面国最年幼的外孙是正方形早慧的六边形外孙；他询问3^3在几何学中可能意味着什么，这个问题预示了第三维度的概念，而正方形起初拒绝接受这一概念。他后来对正方形教他认识第三维度的尝试所作的回应，使早先的洞见形成了意味深长的对照——数学想象力打开一扇门，但对权威的恐惧在正方形引导他跨过门槛之前便结束了这堂课。
身份与早期潜质
最年幼的外孙是正方形两位孤儿外孙之一。千年之交时，正方形称他为一位前途可期的年轻六边形，聪颖过人，棱角分明。他已经学过实用的视觉辨认——正方形和男孩的叔叔们以不同速度绕着各自的中心旋转，而孩子则辨认他们的位置。他的回答一直令人满意，因此正方形奖励他一些应用于几何学的初等算术。
这堂课从一个具体的构造开始。正方形将九个一英寸见方的小正方形拼成一个边长三英寸的大正方形，说明可以将边长平方来计算面积——3^2代表九平方英寸。男孩跟上了演示，却注意到正方形也教过他将数字提升到三次方。他问3^3在几何学中意味着什么。正方形回答说，它在几何学中毫无意义，因为几何学只有两个维度；他还解释了点的运动如何形成线，以及线的平行运动如何形成正方形。
3^3的问题
最年幼的外孙没有接受正方形划定的、关于有意义几何学与荒谬之说的界限，而是顺着这堂课本身的逻辑继续推演。他提出，如果一个点移动三英寸，形成以3表示的线；一条线平行于自身移动，形成以3^2表示的正方形；那么，一个正方形若以某种方式平行于自身移动，也许会形成另一个以3^3表示的图形。他说不清这种运动如何发生，也说不出最终会形成什么图形，但这个类比足够严谨，揭示出正方形的学说所排斥的一种可能性。
正方形没有给出几何学上的回答，反而恼怒起来，叫男孩去睡觉，并告诉他，少说些荒唐话，才更有助于记住有道理的东西。孩子羞愧地离开了。然而，他的问题一直萦绕在正方形心头，直到1999年年底——正方形坐在妻子身边，思索即将到来的一年时，无法摆脱男孩那番“胡言乱语”所引起的念头。旧千年的最后一次，他把半小时沙漏转向北方时，又重复说男孩是个傻瓜。这念念不忘，使这番斥责听来不那么笃定；正方形仍被自己已经否定的那个猜想困扰着。
正方形首次尝试教导他
正方形遇见球体，并得知平地国是一个平面、高维度能够显现二维观察者看不见的事物之后，男孩先前的问题便有了新的分量。球体的解释同样取决于一个领域的局限——三维生物只能以截面的形式显现于平地国，正如正方形曾以一条线的形式显现于线地国国王面前。后来，正方形从平地国上方看见房屋和生物的内部，甚至看见矿井和洞穴的深处。这些经历让他获得了想传授的知识，却还没有赋予他足以令人信服的讲授方法。
回到家中后，正方形思量该安全地教谁。他认为自己的五边形儿子们是体面的医生，但缺少实现其目标所需的数学天赋。他担心，他们的爱国心以及对圆形阶层（祭司）的敬畏，会使他们向地方长官告发他宣扬第三维度这一煽动性异端邪说。年轻六边形似乎是更合适的学生——他有数学天赋、温顺，而且由于年纪尚小，似乎还不知道议会新近颁布的公告，禁止宣称来自另一个世界的启示。
正方形先没有提及三维世界，安抚了妻子，接着召来外孙。他仔细锁好门，拿出他们的数学板；正方形称这些板为“线”。他接着上次的课复习——点在一个维度中运动会形成线，线在两个维度中运动会形成正方形。然后，他请男孩重述先前的猜想——正方形或许可以向上而非向北移动，从而形成一个三维的新图形。
公告与失败的课程
正方形刚开始讲，街上再次传来传令官宣读公告的声音。公告宣布，议会决议命令逮捕、监禁或处决任何以妄想蛊惑民众，或声称得到来自另一个世界启示的人。最年幼的外孙比正方形预料的更快明白了其中的危险。他虽然还是个孩子，自幼敬重圆形阶层（祭司），却等到公告宣读结束后才突然哭起来，并否认自己先前的想法。他坚持说自己是在开玩笑，不知道新法律，也从未谈过第三维度，或向上而非向北移动之事。
男孩的退缩既滑稽又事关重大。他重复说，不向北而向上移动荒谬至极，接着嘲笑起这个想法。正方形失去耐心，试图用手边一个可以移动的正方形作演示。但他无法展示它如何向上移动；他的解释说到最后，只能承认它必定得往某处、以某种方式移动，随即漫无目的地摇晃那个正方形。最年幼的外孙笑得更厉害了，认定正方形不是在教课而是在开玩笑，于是打开门锁，跑了出去。正方形首次尝试让人皈依三维空间的福音，就此失败；而这位学生先前的推理原本最接近这一福音。
叙事意义
相较于一个独立塑造的角色，最年幼的外孙更重要之处，在于他构成了正方形从承袭而来的确信走向后来启示的转折点。他的问题源于正方形亲自教授的有序法则——从点到线再到正方形的递进，引出了更进一步的步骤，尽管平地国公认的几何学禁止这种推想。男孩并没有表现出对三维空间的确切理解，但他的类比让正方形首次隐约而不情愿地意识到，公认知识的界限或许只是想象力的界限，而非现实的界限。
两堂课也勾勒出他们处境的变化。第一堂课上，正方形可以将这个问题斥为荒谬之说，打发男孩离开；到了第二堂课，议会公告已使同一话题变得危险，而外孙服从权威的态度压过了他先前的好奇心。正方形自身的失败在演示中显露出来——他如今能够断言“向上，而非向北”，却无法把自己所见转化为一种在平地国中令人信服的运动。未上锁的门和男孩的笑声让这堂课悬而未决，同时展现了私下讲授、数学类比与政治恐惧如何彼此冲突。
