Square（叙述者）

Square（叙述者）是平地国的一位数学家。他经过线地国并进入太空国，明白了人们可能把感知的界限误当成现实的界限。他试图将这一教训带回家乡，却使个人的启示变成了公开罪行——他宣讲第三维度后遭到监禁，没有一个人因此皈依，只能希望自己的回忆录或许能传到自身世界之外的心灵手中。

身份与最初的教训

Square最初接受自己二维国度的种种假设；在那里，居民所谓的空间，其实不过是一条线或一个平面。在一维国度，他试图向线地国国王解释，国王的世界并非真正的空间——国王的那条线只是空间有限的一部分。言语无法奏效时，Square便离开了那条线。只要Square仍有任何部分留在线地国境内，国王就能继续看见他；接着，国王高喊他已经消失并死去。Square回答说，自己还活着，身处国王的世界之外，如今能看见那条线以及它两侧的人们。这段经历让Square切身体会到，观察者所处的世界与包含该世界的更大空间之间并不相符。

这一教训并没有让他立刻愿意接受所有挑战。回到家中，千年之际，Square不以为然地驳斥了年幼外孙提出的几何猜想——三的三次方具有某种意义。有个声音回应说，这孩子并非愚蠢，这个表达式有着显而易见的几何意义。Square自身的疑惑，以及他对既有数学的自信，构成了即将到来的启示门槛——在平地国听来荒谬的主张，将在他的感知框架改变后变得可以理解。

球体的演示

球体解释说，平地国是居民活动其上的水平表面；他们既无法升到表面之上，也无法降到表面之下。他并非Square所看见的那个圆，而是一个立体，由无限多个圆形截面依次组成，截面从一个点逐渐变化，直到直径达十三英寸的圆。当球体穿过平面时，平地国只能显现交界处切出的截面。因此，Square误以为是来访者完整形体的东西，其实只是一个平地国无法完整呈现的存在的一片截面。

球体带Square进入太空国后，这番演示便不再只是一个命题。Square最初经历了黑暗和一种令人迷乱的视觉，看见一条并非线的线，以及并非空间的空间。他大喊这体验一定是疯狂或地狱；球体称之为知识，并催促他再看一遍。Square随后以平地国的二维空间所不允许的方式，看见了球体的形体。即便这番新见识仍有局限——他看不见球体的内脏，并得知那看似暴露在外的内部，其实是另一种层次存在的表面。

从上方看，Square望见自己的故乡城市缩成微景，房屋内部及其中的生物都暴露在眼前。两人升得更高时，矿井和洞穴的深处也显现出来。Square误把这种扩展的视野当成全视能力；平地国的智者教义认为，全视能力是上帝的属性。球体指出，就连太空国的扒手和凶徒也能看见与Square此刻同样多的事物，从而打破了他的自信。视野拓展改变了Square的理解，却没有使他无所不知——更高的观察位置是相对的，并非神圣的。

归来与公开宣讲

Square试图把自己的发现带回故乡。在地方思辨学会的一次会议上，有人提出论证，解释天意据称为何将维度数目限制为二；Square讲述了自己与球体的旅程，包括往返大都会集会厅的行程。他起初把这段经历说成一名虚构人物的想象体验，但热情使他放弃伪装，转而敦促听众摒弃偏见，相信第三维度。

他的披露使他立即遭到逮捕，并被带到议会接受审讯。审讯中，Square意识到总统决定撤换在场守卫的危险——这些守卫的角度几乎都不低于五十五度，而总统要换上更便宜、角度只有两三度的警察。Square明白自己可能会被处决或监禁，而听取他叙述的官员也可能为了保守秘密而遭到杀害。议会判处他终身监禁，但允许他的兄弟偶尔探望，条件是Square不得因行为不端而丧失这一特权。

关系、监禁与遗产

这一启示也使Square与兄弟之间本已脆弱的关系陷入困境。他的兄弟亲眼见过球体在议事厅显现，看见各个截面不断变化，也听过他们的解释。然而，在七年间每周一次的探望中，Square反复讲述自己参与显现的经历，描述太空国，并以类比论证立体事物的存在；兄弟仍然无法理解第三维度，还公然不相信球体存在。兄弟被描述为公正、通情达理、开朗而富有亲情，因此他始终不信，比单纯的敌意更令Square痛苦。Square在回忆录末尾写道，没有任何人皈依，也感到千年启示或许白白降临于他。

在监狱里，Square将自己比作普罗米修斯——太空国的那个人物把火带给凡人，因此遭受束缚；Square却认为自己什么也没有带给同胞。这一比喻清楚表明了他作证所付出的代价，却没有说明事情最终会如何发展。判决七年后，他依旧孤立无援，除了兄弟的探望和狱卒的陪伴之外，别无他人。然而，他仍希望自己的回忆录不知何故能传到某个维度的人类手中，并唤起一个不愿接受被限制在有限维度之内的民族。结尾把他未能使人皈依的尝试，化作一声呼吁，跨越他亲身经历所教会他质疑的那些界限。