蒙提霍尔问题

蒙提霍尔问题是一道电视游戏节目谜题，探讨的是主持人揭开一扇门、露出一只山羊后，参赛者是否应该换门。克里斯托弗用它反驳杰文斯先生的说法——数学之所以令人安心，是因为其中那些困难问题最终总会有直接明了的答案。克里斯托弗逐一考察谜题的条件和结果，说明数字问题可能很复杂，直觉可能误导人，而逻辑仍能确立清晰的结论。

背景与目的

杰文斯先生曾说，克里斯托弗喜欢数学，是因为数学由有趣且有确定答案的问题构成；而生活不同，并不能保证总有直接明了的答案。克里斯托弗转述了这番话，并立刻反驳说，杰文斯先生不懂数字。接下来的谜题就是他的论证——数学并非仅仅因为合乎逻辑就简单，而正确答案也可能与乍看之下显而易见的结果相反。

克里斯托弗把这道题作为一个著名例子介绍，并说它是玛丽莲·沃斯·萨凡特于一九九〇年九月刊登在《问问玛丽莲》专栏中的问题。他指出，原题由马里兰州哥伦比亚市的克雷格·Ｆ·惠特克寄来，并明确说明自己改写的版本经过简化，并非直接引文。这一说明让他的方法清晰可见——他并未逐字复述原文，而是重新表述题目设置，以便考察其中的条件。

三扇门的设置

参赛者要从三扇关着的门中选一扇。一辆汽车藏在其中一扇门后，另外两扇门后各有一只山羊。参赛者作出初次选择后，主持人会打开两扇未选的门中的一扇，让参赛者看见一只山羊。主持人知道门后藏着什么，所以这次揭示是根据已知信息作出的，并非随机。随后，参赛者面临最后一次选择——保留最初选定的门，或改选另一扇仍然关着的门。

这一过程的顺序很重要。主持人的行动并不等同于在三扇门中随意打开一扇——他的选择受到汽车所在位置以及参赛者首次选择的限制。因此，问题并非只是看见一只山羊后，剩下的两扇门是否看起来同样有可能藏着汽车。问题在于，知道门后情况的主持人刻意揭示一个输掉的选项后，参赛者是否应该保留最初的选择，还是换到另一扇门。

违反直觉的答案

按照克里斯托弗的转述，玛丽莲·沃斯·萨凡特给出的答案是换门。最后那扇仍关着的门藏有汽车的概率为三分之二，而保留最初的选择获胜的概率只有三分之一。与此相反、颇具诱惑力的直觉是——既然只剩两扇门，机会现在一定各占一半。克里斯托弗指出，这正是错误所在——不能仅仅因为一只山羊已经现身，就认为剩下的两扇门获得了相同的概率。

人们对这道谜题的反应，凸显了这种直觉有多么难以纠正。克里斯托弗说，许多读者写信给杂志，声称沃斯·萨凡特错了，尽管她已仔细解释了推理过程。她收到的关于这道题的信件中，百分之九十二认为她错了；其中许多信来自数学家和科学家。这些数字表明，分歧并非只是感受与计算之间的抽象对照——即使具备专业知识，也没能阻止许多写信者否定这个答案。

论证方式与意义

克里斯托弗介绍了两种证明换门正确的方法。第一种方法把门标为Ｘ、Ｙ和Ｚ，并把换门后获胜的机会写成两个情形的概率之和——汽车在参赛者最初没有选中的两扇门之一后面。每种情形的概率都是三分之一，总概率因此为三分之二。这样的记法将主持人知情后揭示山羊的行为纳入计算，而不是把打开的门当作随意排除的选项。

第二种论证用图画展示可能出现的结果。克里斯托弗的说明以一种无需跟随代数推导、便可直接审视的形式，得出同样的实际结论——换门有三分之二的概率获胜，而坚持原选则有三分之一的概率获胜。公式与图画提供了通往同一答案的不同路径，表明这种推理并非仅仅要求人们盲目接受权威的断言。

在克里斯托弗看来，这道谜题也关系到游戏节目之外的决策。他指出，人们在生活中会凭直觉作出选择，但直觉有时会给出错误答案；逻辑则可以帮助人们推算出什么才是正确的。这个例子并未证明生活中的每个问题都有整齐的数学解答，而是推翻了杰文斯先生过于简单的划分——数学本身也可能错综复杂、违反直觉；一个结果之所以可靠，是因为经过了仔细推理，而不是因为它起初听起来合情合理。

叙事作用

这道题打断了前后的家庭叙事，以一个完整独立的数学论证取而代之。克里斯托弗刚与亚历山大太太交谈完，回到了家；接下来的编号章节便从那次相遇转向他关于数学的论证，并一步步向读者介绍这道谜题。主题上的转变是有意安排的——克里斯托弗没有只是声称杰文斯先生错了，而是提出一个例子，请读者检验其中的推理。

因此，蒙提霍尔问题既是一道概率谜题，也是克里斯托弗偏爱的理解不确定性的方法的范例。它最重要的启示并非直觉毫无用处，而是不能把直觉给出的答案与经过证明的答案混为一谈。必须始终考虑主持人掌握的信息、受到限制的揭示方式以及参赛者最初的选择；看清这些条件后，那个起初似乎只是一半对一半的猜测，就会变成可计算的结果——换门有三分之二的胜算。