极端与中项之比关系

极端与中项之比关系产生于这样一种分割——一条有限直线被分成两个不相等的线段，使整条直线与较长线段之比等于较长线段与较短线段之比。这个定义使该关系具有自我重复性——较长部分在整体中所处的比例位置，与较短部分在较长部分中所处的比例位置相同。本书后来把这一关系作为一个作图问题处理，展示如何将给定的比例条件转化为直线的实际分割。因此，它既是几何比例关系的一条规则，也是图形上进行的一项可见操作。

定义与比例结构

本书将这一关系同更一般的互反比例概念区分开来。当一个图形的两边同另一个图形的两边成互反比例时，第一个图形的一边与第二边之比，等于第二个图形的另一边与第一个图形的另一边之比。极端与中项之比关系则更为具体——它涉及同一条直线的各个部分，其定义性的比例按照固定顺序联系整体、较长线段和较短线段。

“极端与中项”这一表述描述了各项在比例中所占的位置。整体与较短线段是极端项，而较长线段位于二者之间，作为中项。因此，较长线段不仅仅是被切割直线中的一段中间长度；它还是调和两个比例相等的那一项。这种排列赋予该关系独特的递归性质，也说明这种分割不能与任意分割互相替代。

第六卷中的作图

第六卷将这一关系作为一个几何问题处理——给定一条有限直线，须将其按极端与中项之比关系分割。任务从一条已经给出的有限直线开始，并寻求其上的一个确定分点。结果并不止于文字比例。作图在图中确定较长线段和较短线段，随后将完成的图形认定为一条按极端与中项之比关系分割的直线。

这一顺序把定义置于实际实现之前。较早的材料说明该关系的含义；后面的命题则通过作出所要求的分割，使这一含义得到运用。因此，作图充当了比例理论与图示证明之间的桥梁。它证明了这种关系可以通过允许的几何操作产生，而不仅仅是在测量之后被辨认出来。

图示、名称与证明

本书的彩色教学法赋予这一关系一种特殊的视觉环境。书中主张，几何图形是几何科学的材料，而几何科学的目的，是通过称为证明的推理展示其各部分的相对数量。采用彩色符号和图形，是因为它们能使这种推理更加精确，并加快达到这一目的。在这样的体系中，分割形成的线段可以在视觉上加以区分，而它们之间的比例联系仍须通过证明确立。

颜色并不改变直线或其线段的数学性质。本书明确提醒，数学直线被定义为只有长度而没有宽度，因而不可能真正具有颜色。颜色只发挥命名工具的作用——平面上颜色的交界为直线提供一种熟悉的视觉指示，但推理所涉及的是通过这一指示而理解的数学对象。这一区分对于该关系至关重要。可见的对比标明各部分，而比例则确立它们彼此之间的关系。

同样的方法以对彩色部分的直接辨认，取代了较为缓慢的任意字母描画。书中说，对图形的文字指涉如果给出相关部分的形状和颜色，或以颜色称呼这些部分，就会比要求学习者逐一辨认字母更迅速、更确定。相等的部分可以赋予相同的颜色，从而产生一种视觉上对相等性的指示，而这种相等性仍须由证明确立。在构造极端与中项之比关系时，这种视觉上的简化支持了从整条直线转向两个彼此成比例的线段，同时不会把标记同大小混淆。

数学与教学意义

极端与中项之比关系集中体现了本书几何学的若干主张。它通过精确的次序定义，通过作图实现，并通过证明确认。它的重要性不只在于出现了一种特殊分割，更在于一种比例如何在同一直线的连续部分之间重复自身。较长线段既是整体的组成部分，又是衡量较短线段的标准。

这一关系也体现了本书更大的主张——视觉教学可以加速理解，却不能取代证明。彩色图形被呈现为一种使各部分立即呈现在视野中的手段，而推理仍负责展示它们的相对数量。因此，构造出的直线具有两个不可分割的方面——它是一个其线段可以被看见的具体图形，也是一个其比例条件必须得到证明的命题。在可见区分与严格关系的结合中，极端与中项之比关系成为本书更广泛的几何与彩色图示教学的关系的代表性实例。