几何相似关系

几何相似关系是同形图形之间的比例关系。它在欧几里得《几何原本》文献中的决定性重要性在于，将视觉上的相似转化为可以证明的数学结构——图形的大小可以不同，但对应角保持其关系，对应边则由一个共同的比相联系。本书的处理属于这样一个体系——定义确立对象，公设授权允许的构造，公理提供不证自明的一般原则，而证明则论证由这些内容所得出的结论。

定义与数学基础

这种关系依赖对应，而非仅仅依赖外观。当一个图形的各部分按相同次序配对，且配对部分满足所要求的比例条件时，便认为它与另一个图形具有这种关系。因此，对几何相似关系的处理预先假定了本书对几何对象的更广泛说明——点没有部分；图形由直线和平面构成；围成图形的直线是它的边。这些定义使人能够将图形的形式同其绝对大小区分开来，从而使放大或缩小不会破坏相似性。

这种关系的逻辑地位同样重要。几何知识并未被呈现为从图画中收集而来的印象汇编。公理是其真理被视为不证自明的一般命题，而命题则是通过推理获得的结果。定理断言某项原则的真理，并且必须从定义、公理或此前已经确立的真理中推导出来。因此，几何相似关系属于一条依存链——图示可以使这种关系变得可见，但证明才确立这种关系为何成立。

构造、叠合法与对应

在欧几里得平面几何学中，本书只允许使用直尺和圆规作为工具。这一限制将合法的几何构造同任意测量区分开来。可以从一个点向另一个点画直线，也可以以任意一点为圆心、以从该圆心量取的任意距离作圆。这些公设提供了产生图形、比较图形以及使图形建立比例关系的操作。

叠合法提供了澄清对应关系的另一种方式。它是这样一个过程——设想将一个量置于另一个量之上，使每一部分完全重合，或者使双方的各部分彼此重合。在几何相似关系中，完全重合并不是最终条件，因为相似图形不必大小相等；然而，使各部分相互匹配的观念仍然不可或缺。在比例推理开始以前，必须确定对应的边和角，并保持这些对应的次序。因此，几何相等状态与几何相似关系彼此相关却有所区别——叠合法能够确立完全重合，而相似性则通过不等大小之间的比例保持形式。

相似三角形

相似三角形的讨论以最集中的形式呈现了这种关系。相关命题将相似三角形确定为这样的图形——其对应角相等，其同名边彼此成比例。角的对应关系防止边被偶然配对，而边的对应关系则表达了连接两个三角形的尺度关系。因此，相似性同时具有角度方面和度量方面——图形共享同一构形，而其长度按照一致的比例变化。

后续论述指出，相似三角形彼此之比等于其同名边之比的平方比。这意味着，两个三角形的大小关系由对应边之比的平方决定。因此，线性的放大产生的是面积的相应变化，而不是相等的变化。如果同名边处于某一给定的比中，那么面积便处于该比的平方比中。这一结果把图形可见的缩放同精确的数量后果联系起来。

该定理的力量在于，它从局部对应推进到整个图形的比例关系。单个边并不被视为孤立的长度。由于三角形相似，每一对同名边都参与同一个比例体系，而一个三角形的总体大小可以通过共同边比的平方同另一个三角形的总体大小相比较。证明将图示中显现的规律转化为必然关系。

相似多边形与分解

这种关系从三角形扩展到相似的直线形和多边形。相似多边形可以分成数目相同的相似三角形，并且每一对对应三角形都与相应多边形成比例。这种分解赋予该理论一种构造性的结构——复杂多边形通过较简单的三角形单位加以分析，而整体的相似性则通过其各部分有组织的相似性来表达。

相应的多边形同样按照其同名边之比的平方比彼此相关。这一论断推广了三角形定理，同时没有放弃其方法。首先确定对应部分；然后将图形分解为可以比较的三角形；最后由这些三角形的比例关系确立多边形的比例关系。因此，相似性跨越不同层次发挥作用——从边和角到三角形，再从三角形到多边形。

这种方法也说明了为什么这种关系不只是一个视觉类别。两个多边形或许看起来相像，但证明要求将它们分成对应的相似三角形，并证明所得各部分按照所要求的比例相互关联。整体图形是通过其各部分之间的关系网络而被认识的，而不是通过未经检验的相似外观。

视觉传达与证明

本书的彩色几何教学法为几何相似关系提供了独具特色的视觉媒介。书中主张，几何图示是几何科学的材料，其对象是通过称为证明的推理展示各部分的相对数量。采用彩色符号和图示，是因为与单独使用文字、字母或无色图示相比，它们能够使这种推理更加精确而迅速。

在这一体系中，颜色并不成为直线、角或量的数学属性。数学上的直线被定义为没有宽度的长度，因而不可能真正具有颜色。颜色反而作为名称或符号发挥作用——两种颜色的交接可以暗示一条直线，但当提到一条有色直线时，意指的对象是由颜色所表示的几何关系，而不是颜料本身。这一区分在允许标记引导注意的同时，使形式概念不受物质痕迹混淆。

当必须在证明过程中追踪对应部分时，这种优势尤其明显。有色部分可以立即被辨认，而传统的字母标记则要求学习者追踪若干字母，并重新构想图示中所指的部分。被给予相等关系的部分可以使用相同颜色，从而以视觉方式指示在整个推理过程中必须始终保留的数据。在课堂上，眼睛和耳朵可以同时受到作用——对有色直线或角的口头指示，会同时引导所有学习者的注意。

这种视觉方法被呈现为理解的辅助，而非证明的替代物。它的目的在于防止学生只是把证明背诵下来，并使理性、事实和证明始终呈现在理解之前。因此，几何相似关系处于两个相互联系的层面——它是数学体系内部精确的比例关系，同时也是一种可以通过精心组织的视觉符号而更容易理解的关系。