青蛙

青蛙是学校池塘例子的主题。克里斯托弗借此解释，种群数量看似不可预测，并不一定意味着存在某种隐情——数量可以遵循简单的数学规则，同时发生混沌波动。青蛙既是学校要求学生善待的活生生的动物，也是一个具体例子，说明数学如何动摇人们对因果关系的日常看法。

学校池塘及其用途

学校池塘里养着青蛙，让学生学习以善意和尊重对待动物。克里斯托弗以此对照一些孩子的残忍行为——他们觉得踩死蚯蚓或朝猫扔石头很有趣。因此，青蛙不仅用于讲解种群数学，也与人们如何对待其他生灵这一课题有关。

波动的数量

青蛙的数量年年不同——有些年份很多，有些年份则很少。克里斯托弗描述了一张假设的变化图，强调其中的数字只是示意，并非实际计数。观察者可能会把图中明显的低谷归因于异常寒冷的冬天——他提到一九八七年、一九八八年、一九八九年和一九九七年——或者归因于苍鹭吃青蛙。苍鹭有时会到池塘来，但池塘上方盖着铁丝网，以防它们进入。这些可能的解释让图表看起来像是在记录外部事件，然而这种模式未必有这样的成因。

数学解释

克里斯托弗介绍了种群公式——新数量＝λ×旧数量×（一－旧数量）。其中，数量代表种群密度——一表示可能达到的最大种群数量，零表示灭绝。新数量是某一年的种群数量，旧数量是前一年的种群数量，而λ是一个常数。这个公式表明，这种波动可以理解为某条规则的结果，而不必视为某个特定冬天、捕食者或其他明显干扰的证据。

当λ大于三点五七时，种群就会变得混沌，产生克里斯托弗所描述的那种不规则图形。重点并不是说青蛙完全没有成因，而是简单规则也能产生复杂到无法根据某一年预测下一年情况的模式。克里斯托弗认为，青蛙、蚯蚓或人类的种群都可能如此——单凭数量变化就能造成种群减少，甚至灭绝，而不需要某个明确发生在其间的事件来解释。

叙事意义

青蛙让关于混沌的抽象论述成为熟悉的校园实例。它们数量的变化起初让人想到天气或苍鹭等解释；随后，公式将注意力从表面上的谜团转向简单规则与变化中的种群之间的相互作用。在克里斯托弗的叙述中，不可预测并不能证明事件超自然，也不意味着一定有某个看不见的力量在背后负责。一个系统可以遵循规则，却仍难以预测，因此青蛙生动地展现了看起来并无秩序的秩序。