直角状态
《几何原本》直角是一条直线与另一条直线相交并使两个相邻角相等时形成的几何状态。在这一定义中，相邻角的相等具有决定性——这种相交并非仅仅是交会，而是直线之间一种得到精确定义的关系。两个相等的角各自称为直角，而这两条直线则称为彼此垂直。
定义与界限
文本将直角确立为分类其他平面角的参照条件。钝角大于直角，而锐角小于直角。因此，直角处于这两个类别之间的界限——它既不是超出该标准的扩大，也不是低于该标准的缩减，而是用来区别二者的确切度量。
相等与几何秩序
所有直角都相等这一表述，使这一概念的地位高于对两条相交直线所作的单纯局部描述。任何满足直角条件的角，都与其他每一个直角具有相同的几何地位。这种共同的相等性使直角成为整个欧几里得推理中稳定的比较单位，从而使构造与定理能够援引垂直关系，而不依赖图形的特定位置或大小。
工具与构造
周围的几何学仅限于直尺和圆规；在欧几里得的平面几何学中，这两者被描述为获准使用的唯一工具。在这一严格限定的体系中，直角不是非正式的视觉印象，而是一种能够被构造、识别并纳入证明的关系。本书包含这样一道作图题——从给定点向给定的无限延长直线作一条垂线；这说明抽象定义如何转化为可执行的几何操作。
在欧几里得证明中的作用
直角作为一种条件，反复出现在《几何原本》的编排中。它出现在第一卷命题一的标题以及后续命题中，包括第一卷命题十二——一道关于垂线的作图题——和第一卷命题十三——一条定理。这些引用将直角置于作图题与定理的交汇处——它既是几何学运用获准工具所构造的对象，也是通过推理确立其性质的对象。
重要性
直角为欧几里得几何学提供了最清晰的结构标准之一。垂直关系命名直线之间的关系，相等性确定相邻角，而大小角的比较则建立起对角形的更广泛分类。由于所有直角都相等，这一概念将局部构造与一般证明连接起来——一个特定的交会可以作为普遍几何状态的实例。
